Vous avez forcément entendu parler du box-plot que l'on appelle aussi boîte à moustache pour sa forme originale. Ce graphique tout simple permet de résumer une variable de manière simple et visuel, d'identifier les valeurs extrêmes et de comprendre la répartition des observations. Nous vous proposons quelques détails sur ce graphique afin de l'utiliser simplement.
Comment est construit un box-plot
Un box-plot est composé d'un rectangle (la « boîte ») duquel sortent deux segments (les « moustaches »), avec éventuellement des points isolés. Chaque élément correspond à une statistique précise.
- La valeur centrale du graphique est la médiane (il existe autant de valeur supérieures qu'inférieures à cette valeur dans l'échantillon).
- Les bords du rectangle sont les quartiles (Pour le bord inférieur, un quart des observations ont des valeurs plus petites et trois quart ont des valeurs plus grandes, le bord supérieur suit le même raisonnement).
- Les extrémités des moustaches sont calculées en utilisant 1.5 fois l'espace interquartile (la distance entre le 1er et le 3ème quartile). Les moustaches s'étendent jusqu'à la dernière observation située à l'intérieur d'une « clôture » (fence) calculée à partir de 1,5 fois l'IQR :
- clôture basse :
Q1 − 1,5 × IQR - clôture haute :
Q3 + 1,5 × IQR
La moustache ne s'arrête donc pas à la valeur de la clôture, mais à la dernière donnée réelle qui ne la dépasse pas. C'est pour cela que les deux moustaches n'ont presque jamais la même longueur.
- clôture basse :
On peut remarquer que 50% des observations se trouvent à l'intérieur de la boîte.
Les valeurs à l'extérieur des moustaches sont représentées par des points. On ne peut pas dire que si une observation est à l'extérieur des moustaches alors elles est une valeur aberrante. Par contre, cela indique qu'il faut étudier plus en détail cette observation.
Pourquoi le coefficient 1,5 ?
Ce n'est pas un nombre magique. Pour une distribution normale, le critère 1,5 × IQR correspond à environ ±2,7 écarts-types autour de la moyenne, soit à peu près 99,3 % des données. Statistiquement, on s'attend donc à voir surgir un point « atypique » de temps en temps même sur des données parfaitement saines : environ 0,7 % des observations d'une loi normale tombent au-delà des moustaches. Plus l'échantillon est grand, plus on verra mécaniquement de tels points.
Un exemple chiffré, calculé à la main
Prenons un petit jeu de 9 valeurs, déjà triées :
5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 40Étape 1 — la médiane. Avec 9 valeurs, la médiane est la 5ᵉ valeur : médiane = 11.
Étape 2 — les quartiles (méthode dite des médianes des deux moitiés, courante en enseignement) :
- moitié basse
5, 7, 8, 10→ Q1 = (7 + 8) / 2 = 7,5 - moitié haute
13, 14, 16, 40→ Q3 = (14 + 16) / 2 = 15
Étape 3 — l'écart interquartile : IQR = 15 − 7,5 = 7,5.
Étape 4 — les clôtures :
- basse :
7,5 − 1,5 × 7,5 = −3,75 - haute :
15 + 1,5 × 7,5 = 26,25
Étape 5 — les moustaches et les points atypiques.
- En bas : la plus petite valeur (5) est supérieure à −3,75, donc la moustache basse s'arrête à 5.
- En haut : la plus grande valeur sous 26,25 est 16, donc la moustache haute s'arrête à 16. La valeur 40 dépasse 26,25 : elle est représentée comme point atypique.
Ce que l'on peut représenter en plus dans un box-plot
On voit souvent apparaître des box-plot avec des formes différentes ou des signes supplémentaires, en voici quelques uns :
- La croix rouge dans la boîte : lorsqu'une croix rouge apparaît dans le box-plot, il s'agit toujours d'une représentation de la moyenne sur l'échantillon étudié.
- Des boîtes ayant des largeurs variables : il arrive souvent que les boîtes n'aient pas la même taille (en largeur), il ne s'agit pas d'une simple transformation esthétique, la largeur est alors proportionnelle à la taille de l'échantillon. Ceci est spécialement intéressant dans le cas de comparaison de groupes d'observations pour lesquelles la taille des groupes n'est pas homogène.
- Des boîtes avec une boîte qui se ressert autour de la médiane (notched) : Cette représentation permet de visualiser un intervalle de confiance à 95% autour de la médiane. Les points où la boîte se ressert représentent les bornes de cet intervalle.
On le calcule avec la formule suivante :
médiane +/- 1.57 * (Q3-Q1)/racine(N) avec Q1 1er quartile, Q3 3ème quartile et N taille de l'échantillon.
Comme on peut le voir dans le box plot représenté avec R, toutes ces options peuvent être ajoutées simultanément au box-plot.
Quand utiliser un box-plot
Là où il excelle
Le box-plot est idéal pour comparer la distribution d'une variable entre plusieurs groupes côte à côte : symétrie, dispersion, niveau central et valeurs extrêmes se lisent d'un coup d'œil. C'est sa force principale par rapport à l'histogramme, qui ne se prête pas bien à la comparaison de nombreux groupes sur un même graphique.
Sa principale limite : il cache la forme de la distribution
Le box-plot ne repose que sur cinq nombres (min/Q1/médiane/Q3/max). Deux distributions radicalement différentes peuvent donc produire des boîtes quasi identiques. L'exemple classique : une distribution unimodale et une distribution bimodale (deux pics) peuvent avoir les mêmes quartiles.
Les deux box-plots du haut se ressemblent ; les histogrammes du bas révèlent deux réalités totalement différentes. Morale : le box-plot est un excellent résumé, pas un substitut à l'examen de la distribution complète.
C'est pourquoi on lui adjoint volontiers, en pratique moderne :
- un violin plot (qui ajoute une estimation de densité de part et d'autre),
- ou une superposition des points individuels (strip plot / swarm plot), surtout sur petits échantillons.
Le box-plot en Python
Python propose plusieurs bibliothèques pour tracer des box-plots. Nous utilisons le célèbre jeu de données iris, disponible directement dans seaborn.
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
iris = sns.load_dataset("iris")
cols = ["sepal_length", "sepal_width", "petal_length", "petal_width"]
plt.boxplot(iris[cols].values, tick_labels=cols) # 'labels=' avant matplotlib 3.9
plt.ylabel("centimètres")
plt.show()Quelques options utiles de plt.boxplot :
plt.boxplot(
iris[cols].values,
tick_labels=cols,
# affiche la moyenne
showmeans=True,
# boîtes entaillées (IC de la médiane)
notch=True,
# orientation verticale
vert=True,
widths=0.6,
)De nombreuses autres packages python permettent de faire des boîtes à moustaches.
Les box-plot dans R
R vous permet de dessiner des box-plots de manière simple et rapide grâce à la fonction boxplot. Ainsi si on prend les données iris se trouvant dans R, on dessine un box-plot standard en utilisant les 4 variables quantitatives du jeu de données :
data(iris)
boxplot(iris[1:4])Si on désire utiliser une variable qualitative comme variable de groupe, on peut utiliser le code suivant :
boxplot(iris$Sepal.Length~iris$Species)On utilise donc une formule permettant de représenter les box-plots associés à chaque espèce d'iris pour la longueur des sépales.
Pour représenter un box-plot notched et dont la taille dépend de la taille de chaque échantillon, il suffit d'utiliser le code suivant :
boxplot(iris$Sepal.Length~iris$Species,varwidth = TRUE, notch = TRUE, outline = TRUE)De nombreuses autres options sont disponibles, vous les trouverez dans cette description de la fonction boxplot.
Les autres logiciels pour les box-plots
Tous les logiciels de statistique et d'analyse de données tracent des box-plots : Excel (graphique « Boîte à moustaches » depuis 2016), Power BI, Tableau, SPSS, SAS, Stata, JASP, etc. Le principe et la lecture restent strictement identiques.
Les liens intéressants
Des descriptions des boîtes à moustaches peuvent être trouvées sur beaucoup de sites web. En voici quelques unes :
Les références
S'il fallait n'en citer qu'une, ça serait :
John W. Tukey (1977). Exploratory Data Analysis. Addison-Wesley.
Pour la version notched, on peut voir :
John M. Chambers (1983). Graphical methods for data analysis. Wadsworth International Group.
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Comments 13
Pingback: Quelles statistiques utiliser pour décrire une variable ? - STAT4DECISION
J’ai apprécié cet article et je désir m’abonner à votre newsletter our obtenir plis de contelus
un article interressant!!
Bonjour, je voudrai avoir un ou des scripts qui vont me permettre de représenter dans un boxplot la médiane et la moyenne
Bonjour,
Dans le box plot, la croix rouge représente la moyenne et la barre centrale de la boîte représente la médiane quelle que soit l’outil utilisé.
Si les extrémités des moustaches sont calculées en utilisant 1.5 fois l’espace interquartile (la distance entre le 1er et le 3ème quartile), pour quelle raison les longueurs de ces segments ne sont-ils pas identique de part et d’autre de la boîte ?
Bonjour,
Si le minimum ou le maximum est atteint alors la moustache s’arrête, d’où l’aspect non symétrique.
est ce qu’il peut arriver qu’on ait des valeurs négatives pour le minimum Q1-1,5(Q3-Q1)
Bonjour Diane,
La valeur associée à la borne inférieure dépend de vos données. Si vous avez des données négatives, il arrivera souvent que cette borne soit négative.
Cordialement,
Emmanuel
Quelle est l’intérêt de l’extrémité des moustaches ? Comment utilise-t-on cette valeur de 1.5 fois l’espace interquartile ?
Et, est-ce que c’est toujours cela que ça représente ou parfois, ces extrémités représentent d’autres valeurs ?
Bonjour,
L’intérêt est de repérer les données qui sont au-delà de cet intervalle. On aura souvent tendance à les identifier comme des valeurs extrêmes.
La distance entre le boîte et l’extrémité représente soit 1.5 fois l’espace interquartile soit la distance au maximum (ou minimum pour la moustache inférieure).
Bien cordialement,
Emmanuel
très intéressant
Je suis chercheur suis satisfait de la réponse à ma question ,ces recherches m’aideront aux analyses des donneés