La modélisation par équations structurelles fait partie de la boîte à outils de tout praticien qui cherche à relier des concepts non directement mesurables : la satisfaction, l’image de marque, la fidélité, la perception de la qualité. Dans cette nouvelle série d’articles, je vous propose d’explorer une famille de méthodes que je pratique depuis de nombreuses années : l’approche PLS, et plus précisément le PLS Path Modeling (PLS-PM). Ce premier billet pose les bases conceptuelles et présente les outils disponibles dans R. Les articles suivants entreront dans la pratique.

De quoi parle-t-on ?

Le PLS-PM est une méthode d’estimation des modèles à équations structurelles (SEM, Structural Equation Modeling). L’idée centrale de ces modèles est de représenter des variables latentes (des concepts que l’on ne mesure pas directement) à partir de variables manifestes, c’est-à-dire les questions, indicateurs ou mesures réellement observés dans les données.

Prenons un exemple parlant : la satisfaction d’un client ne se lit pas dans une seule colonne d’un fichier. On l’approche à travers plusieurs items d’un questionnaire (« Êtes-vous satisfait de… ? »), et on souhaite ensuite relier cette satisfaction à d’autres concepts comme l’image perçue ou la fidélité. Un modèle PLS-PM permet précisément d’estimer à la fois la façon dont les concepts se construisent à partir des items et les relations causales supposées entre ces concepts.

PLS-PM ou approche par covariance : deux philosophies

Historiquement, deux grandes familles cohabitent pour estimer un modèle structurel.

L’approche par la covariance (CB-SEM), popularisée par des logiciels comme LISREL ou AMOS, cherche à reproduire au mieux la matrice de covariance des données observées. Elle est confirmatoire par nature, repose sur des hypothèses fortes (normalité multivariée, échantillons de taille suffisante) et fournit des indices d’ajustement global du modèle.

L’approche PLS adopte une logique différente. Plutôt que de reproduire une matrice de covariance, elle estime les variables latentes comme des combinaisons pondérées de leurs indicateurs, en enchaînant une série de régressions jusqu’à convergence. Cette logique « orientée prédiction » la rend particulièrement adaptée :

aux échantillons de petite à moyenne taille ;
aux données qui ne respectent pas la normalité multivariée ;
aux objectifs exploratoires ou prédictifs plutôt que strictement confirmatoires ;
aux modèles intégrant des construits formatifs (j’y reviens ci-dessous).

Aucune des deux n’est « meilleure » dans l’absolu : le choix dépend de la question de recherche, de la nature des construits et des données disponibles.

Les deux composantes d’un modèle PLS-PM

Un modèle PLS-PM se décompose toujours en deux sous-modèles.

Le modèle de mesure (ou modèle externe) décrit comment chaque variable latente est reliée à ses indicateurs. C’est lui qui établit le lien entre le concept et les questions du questionnaire.

Le modèle structurel (ou modèle interne) décrit les relations entre les variables latentes elles-mêmes : quel concept influence quel autre. C’est la partie qui traduit les hypothèses du chercheur, par exemple « l’image influence la satisfaction, qui influence la fidélité ».

L’estimation PLS traite ces deux modèles conjointement, en faisant circuler l’information de l’externe vers l’interne et inversement à chaque itération de l’algorithme.

Figure 1. Les deux composantes d’un modèle PLS-PM. Les variables latentes (ellipses) sont reliées entre elles par le modèle structurel, et à leurs indicateurs observés (rectangles) par le modèle de mesure.

Réflectif ou formatif : une distinction essentielle

Au sein du modèle de mesure, la relation entre une variable latente et ses indicateurs peut prendre deux formes, et ce choix change l’interprétation comme l’estimation.

Dans un bloc réflectif, le concept est considéré comme la cause de ses indicateurs : la satisfaction « génère » les réponses aux items, qui sont donc censés être fortement corrélés et interchangeables. On évalue alors leur fiabilité et leur validité convergente.

Dans un bloc formatif (ou composite), ce sont au contraire les indicateurs qui construisent le concept. Pensez à un indice de niveau de vie composé du revenu, du logement et du patrimoine : retirer un indicateur change la nature même du construit, et les indicateurs n’ont aucune raison d’être corrélés. C’est précisément sur ce type de construits que l’approche PLS se révèle souvent plus à l’aise que l’approche par covariance.

Figure 2. Réflectif ou formatif : tout se joue dans le sens des flèches. À gauche, le concept est la cause de ses indicateurs ; à droite, les indicateurs définissent le concept.

Bien spécifier le sens de ses blocs de mesure est l’une des étapes les plus importantes, et les plus souvent négligées, de la construction d’un modèle.

L’algorithme en quelques mots

Sans entrer dans le détail mathématique, l’algorithme PLS procède de façon itérative. Il part de poids initiaux pour estimer une première version de chaque variable latente comme combinaison de ses indicateurs, met à jour ces estimations en tenant compte des liens du modèle structurel (les latentes voisines), recalcule les poids, et répète jusqu’à stabilisation. Les coefficients du modèle structurel sont ensuite obtenus par régression sur ces scores latents.

Comme l’estimation ne repose pas sur des hypothèses distributionnelles, la significativité des coefficients est évaluée non pas par des tests classiques mais par bootstrap : on rééchantillonne les données un grand nombre de fois pour construire des intervalles de confiance empiriques.

Faire du PLS-PM avec R

C’est là que R entre en jeu. Plusieurs packages permettent aujourd’hui d’estimer ces modèles, et le paysage a évolué ces dernières années.

seminr est devenu une référence pour débuter : sa syntaxe est proche du vocabulaire métier (reflective, composite, interactions), ce qui rend les modèles très lisibles. Il gère le PLS-PM mais aussi le CB-SEM via lavaan.
cSEM propose une implémentation complète et rigoureuse de l’analyse par composites (PLS, PLSc cohérent, GSCA), avec une syntaxe inspirée de lavaan. C’est l’outil de choix pour aller plus loin dans l’évaluation des modèles.
plspm est le package historique en R. Toujours utile pédagogiquement, il est aujourd’hui moins activement maintenu que les deux précédents (son successeur le plus vivant est désormais la version Python).

Voici à quoi ressemble la spécification d’un modèle simple avec seminr, sur le jeu de données mobi (satisfaction client, modèle de type ECSI) fourni avec le package. Le modèle structurel que nous allons coder est le suivant :

Figure 3. Le modèle structurel de satisfaction estimé dans l’exemple de code ci-dessous.

library(seminr)

# Modèle de mesure (externe)
mesures <- constructs(
  reflective("Image",        multi_items("IMAG", 1:5)),
  reflective("Attentes",     multi_items("CUEX", 1:3)),
  reflective("Qualite",      multi_items("PERQ", 1:7)),
  reflective("Satisfaction", multi_items("CUSA", 1:3)),
  reflective("Fidelite",     multi_items("CUSL", 1:3))
)

# Modèle structurel (interne)
structure <- relationships(
  paths(from = "Image",        to = c("Attentes", "Satisfaction", "Fidelite")),
  paths(from = "Attentes",     to = c("Qualite", "Satisfaction")),
  paths(from = "Qualite",      to = "Satisfaction"),
  paths(from = "Satisfaction", to = "Fidelite")
)

# Estimation puis bootstrap
modele <- estimate_pls(
  data              = mobi,
  measurement_model = mesures,
  structural_model  = structure
)

summary(modele)
boot <- bootstrap_model(modele, nboot = 1000)
summary(boot)

En quelques lignes, on a déclaré les concepts, leurs indicateurs, les hypothèses de relations, puis estimé et validé le modèle. On retrouve bien les deux sous-modèles et le bootstrap évoqués plus haut.

Et maintenant ?

Vous disposez désormais des repères essentiels : ce que mesure un modèle PLS-PM, en quoi il se distingue de l’approche par covariance, la différence entre construits réflexifs et formatifs, et les outils R pour le mettre en œuvre. Dans le prochain article de la série, nous reprendrons ce modèle de satisfaction pas à pas dans R, de la préparation des données à l’interprétation complète des résultats : qualité du modèle de mesure, lecture des coefficients structurels et évaluation de la capacité prédictive.

Pour aller plus loin

Fondations méthodologiques

Wold, H. (1985). Partial Least Squares. Dans Encyclopedia of Statistical Sciences (vol. 6, p. 581-591). Wiley.
Lohmöller, J.-B. (1989). Latent Variable Path Modeling with Partial Least Squares. Physica-Verlag.
Tenenhaus, M., Esposito Vinzi, V., Chatelin, Y.-M., & Lauro, C. (2005). PLS path modeling. Computational Statistics & Data Analysis, 48(1), 159-205.
Jakobowicz, E., & Derquenne, C. (2007). A modified PLS path modeling algorithm handling reflective categorical variables and a new model building strategy. Computational Statistics & Data Analysis, 51(8), 3666-3678.

Manuels et guides pratiques

Hair, J. F., Hult, G. T. M., Ringle, C. M., & Sarstedt, M. (2022). A Primer on Partial Least Squares Structural Equation Modeling (PLS-SEM) (3ᵉ éd.). Sage.
Esposito Vinzi, V., Chin, W. W., Henseler, J., & Wang, H. (dir.) (2010). Handbook of Partial Least Squares. Springer.

Avec R

Sanchez, G. (2013). PLS Path Modeling with R. Berkeley : Trowchez Editions.
Packages R : seminr (Ray, Danks & Calero Valdez), cSEM (Rademaker & Schuberth) et plspm (Sanchez, Trinchera & Russolillo).

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L’approche PLS avec R – Introduction